题目内容

给出下列命题：
①|
a
-
b
|≤|
a
|-|
b
|；②
a
，
b
共线，
b
，
c
平，则
a
与
c
为平行向量；③
a
，
b
，
c
为相互不平行向量，则（
b
-
c
）
a
-（
c
-
a
）
b
与
c
垂直；④在△ABC中，若a2taanB=b2tanA，则△ABC一定是等腰直角三角形；⑤
a
•
b
=
a
•
c
，则
a
⊥（
b
-
c
）   
其中错误的有
 
．
分析：根据向量减法的三角形法则，可以判断①的真假；考虑0向量的特殊性，即可判断②的真假；由于数量没有方向，故不存在数量与向量平行，由此判断③的真假；利用正弦定理的边角互化，结合倍角公式及三角函数的性质，我们可以判断④的真假；根据向量加法的分配律，及向量垂直的性质，可以判断⑤的正误．进而得到答案．
解答：解：根据向量减法的三角形法则我们可得：|
a
-
b
|≤|
a
|-|
b
|，当向量
a
与
b
反向，且|
a
|＞|
b
|时取等号，故①正确；
若
b
=
0
，则当
a
，
b
共线，
b
，
c
平行均成立时，则
a
与
c
为也可能不平行，故②错误；
∵由于（
b
-
c
）
a
-（
c
-
a
）
b
是一个数量，故③错误；
在△ABC中，若a2tanB=b2tanA
则a2
sinB
cosB
=b2
sinA
cosA
，即a2
b
cosB
=b2
a
cosA

即
sinA
cosB
=
sinB
cosA
，即sin2A=sin2B
则2A=2B，或2A+2B=π
则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故④错误；
若
a
•
b
=
a
•
c
，则
a
•
b
-
a
•
c
=0，即
a
•（
b
-
c
）=0，则
a
⊥（
b
-
c
），故⑤正确；
故答案为：②③④
点评：本题考查的知识点是平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，三角形形状的判断，向量加法的三角形法则，比较综合的考查了平面向量的运算法则和运算性质，属于基础题．
练习册系列答案
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给出下列命题
①设a、b为非零实数，则“a＜b”是“
1
a
＞
1
b
”的充分不必要条件；
②命题P：垂直于同一条直线的两直线平行，命题q：垂直于同一条直线的两平面平行，则命题p∨q为真命题；
③命题“?r∈R，sinr＜1”的否定为“?x0∈R，sinx0＞1”；
④命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的逆否命题为“若x+y＜5，则x＜2且y＜3”．
其中真命题的个数有（　　）
A、4个B、3个C、2个D、1个
设
a
，
b
，
c
是平面内的任意向量，给出下列命题：
①(
a
•
b
)
c
=(
b
•
c
)
a
，②若
a
•
b
=
a
•
c
，则
a
=
0
或
b
=
c
，③(
a
+
b
)  (
a
-
b
)=|
a
|2-|
b
|2，
其中正确的是
 
．（写出所有正确判断的序号）
对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a=b”是“ac=bc”充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；
④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．
其中假命题的个数是
2
2
．
在△ABC中，
AB
=
c
，
BC
=
a
，
CA
=
b
，给出下列命题
①若
a
•
b
＞0，则△ABC为钝角三角形     ②若
a
•
b
=0，则△ABC为直角三角形
③若
a
•
b
=
b
•
c
，则△ABC为等腰三角形  ④若
c
•(
a
+
b
+
c
)=0，则△ABC为正三角形
其中真命题的个数是                                                     （　　）
A、1B、2C、3D、4

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