Question

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AD=2BC=2CD=4，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C是直二面角，并连接AC，AD得到四棱锥A-BCDE，如图2．
（1）求四棱锥A-BCDE的体积；
（2）若M，N分别是BC，AD的中点，求证：MN∥平面ABE．

Answer 1

分析：根据折起后几何图形的性质，判断椎体的高与底面，根据椎体的体积公式求解即可；
根据平行四边形的对边平行且相等，判定线线平行，再通过线线平行证线面平行．

解答：解：（1）∵AD=2BC=4，E为AD的中点，∴BE∥CD
又∵AD⊥CD∴BE⊥AE，BE⊥ED∴∠AED是二面角A-BE-C所成的二面角，即∠AED=90°
而BE∩ED=E，BE，ED⊆平面BCDE∴AE⊥平面BCDE∵AE=2，S_BCDE=4∴四棱锥A-BCDE的体积V=

8

3

．
（2）证明：作AE的中点F，连接NF，BF
∵N是AD的中点，∴NF∥BC，NF=

1

2

BC
又∵M分别是BC的中点，∴BM∥NF，BM=NF，
∴四边形BMNF是平行四边形，∴MN∥BF
∵MN?平面ABE，BF?平面ABE，
∴MN∥平面ABE．

点评：本题考查椎体的体积计算与线面平行关系的证明．证明线面平行的方法：法一，线线平行⇒线面平行；法二，面面平行⇒线面平行．