题目内容

【题目】已知函数f(x)的定义域为[﹣2,2],若对于任意的x,y∈[﹣2,2],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,有f(x)>0
(1)证明:f(x)为奇函数;
(2)若f(1)=3求f(x)在[﹣2,2]上的值域.

【答案】
(1)证明:令x=y=0,∴f(0)=0,

令y=﹣x,∴f(x)+f(﹣x)=f(0)=0,∴f(﹣x)=﹣f(x).

故f(x)为奇函数


(2)解:f(x)在[﹣2,2]上为单调递增函数.下面给出证明:

任取﹣2≤x1<x2≤2,∴x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>0,

∵f(x)在[﹣2,2]上的奇函数,

∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)>0,

∴f(x2)>f(x1),

∴f(x)在[﹣2,2]上为单调递增函数.值域为[﹣6,6]


【解析】(I)令x=y=0,可得f(0)=0,再令y=﹣x,代入即可判断出奇偶性.(Ⅱ)f(x)在[﹣2,2]上为单调递增函数.利用奇偶性与单调性的定义及其当x>0时,有f(x)>0,即可证明.

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