题目内容

18．函数f（x）=ex+x2+2x+1与g（x）的图象关于直线3x-y-2=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）
A．$\frac{2\sqrt{10}}{5}$B．$\frac{3\sqrt{10}}{10}$C．$\frac{6\sqrt{10}}{10}$D．$\frac{4\sqrt{10}}{5}$

分析 根据函数f（x）和g（x）关于直线3x-y-2=0对称，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可

解答 解：∵f（x）=ex+x2+2x+1，
∴f′（x）=ex+2x+2，
∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线3x-y-2=0对称，
∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．
直线3x-y-2=0的斜率k=3，
由f′（x）=ex+2x+2=3，
即ex+2x-1=0，
解得x=0，
此时对于的切点坐标为（0，2），
∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=3x-2，
两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线3x-y-2=0的最小距离，
此时d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数f（x）到直线的距离是解决本题的关键．

练习册系列答案
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8．下列命题中是真命题的是③④．
①?x∈N，x3＜x2；
②所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0；
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④“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题．
9．已知$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$cos（β+\frac{3π}{4}）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$α，β∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，求cos（α+β）的值．
6．双曲线y=$\frac{1}{x}$在点（2，$\frac{1}{2}$）的切线方程是（　　）
A．$\frac{1}{4}$x+y=0B．$\frac{1}{4}$x-y=0C．$\frac{1}{4}$x+y+1=0D．$\frac{1}{4}$x+y-1=0
13．已知曲线f（x）=x3+ax+b在点（2，-6）处的切线方程是13x-y-32=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-$\frac{1}{4}$x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．
3．实数m为何值时，复数z=$\frac{{m}^{2}+m-6}{m+5}$+（m2+8m+15）i
（Ⅰ）为实数；
（Ⅱ）为纯虚数；
（Ⅲ）对应点在第二象限．
10．设z∈C，|z|=1，则|z+$\sqrt{3}$+i|的最大值为（　　）
A．1B．2C．3D．4
7．给出下列四个命题：
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②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到的函数解析式可以表示为$g（x）=2sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$；
③函数f（x）=2sin2x-cosx-1的值域是[-2，1]；
④已知函数f（x）=2cos2x，若存在实数x1、x2，使得对任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为$\frac{π}{2}$；
其中正确命题的序号为①④（把你认为正确的序号都填上）．
8．已知函数f（x）=x2-cosx，对于$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②$x_1^2＞x_2^2$；③|x1|＞x2，其中能使f（x）1＞f（x2）恒成立的条件序号是（　　）
A．①B．②C．③D．以上都不对

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