Question

【题目】已知函数.

（1）若函数有零点，求的取值范围；

（2）若对任意的，都有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的取值范围为；（2）实数的取值范围.

【解析】试题分析：（1）将函数有零点的问题转化为方程有解的问题处理。令，则化为关于的方程有正根的问题，设，根据抛物线的开口方向及对称轴求解。（2）由题意可得恒成立。分两种情况：当时，不等式为，此时实数. 当时，分析得，求得的最大值和的最小值可得。

试题解析：

（1）由函数有零点得：关于的方程有解.

令，则，于是有关于的方程有正根.

设，则函数的图象恒过点且对称轴为.

①当时， 的图象开口向下，

故恰有一正数解；

②当时， ，不合题意；

③当时， 的图象开口向上，故要使有正数解，

需使，

解得.

综上可知实数的取值范围为.

（2）由恒成立得恒成立.

∵，

∴恒成立。

当时，不等式为，此时实数.

当时，则有，

所以，

故由不等式可得

∵，

∴，

则，

∴

综上可得实数的取值范围.