Question

【题目】如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB=20米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角∠NBE=θ，总造价为W元．
（1）试将W表示为θ的函数W（θ），并写出cosθ的取值范围；
（2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小．

Answer 1

【答案】
（1）解：过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G．

在Rt△BNF中，BF=16cosθ，则MG=20﹣16cosθ

在Rt△MNG中， ，

由题意易得 ，

因此， ，

（2）解：

令W′（θ）=0， ，因为 ，所以 ．

设锐角θ1满足 ，

当 时，W，（θ）＜0，W（θ）单调递减；

当 时，W，（θ）＞0，W（θ）单调递增．

所以当 ，总造价W最小，最小值为 ，

此时 ， ， ，

因此当 米时，能使总造价最小

【解析】（1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G．构建直角三角形，通过解直角三角形、勾股定理和弧长公式进行解答；（2）将（1）中的函数关系进行变形得到 ．W′（θ）=0， ，因为 ，所以 ．然后结合θ的取值范围进行分类讨论，利用三角函数的单调性进行解答．
【考点精析】利用三角函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．