Question

（本题满分14分）

如图3，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，ÐBAD=90°，PA^底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M，N分别为PC、PB的中点.

（1）求证：PB^DM；

（2）求BD与平面ADMN所成角的大小；

（3）求二面角B—PC—D的大小.

Answer 1

（本小题满分14分）

解：建立如图3所示的空间直角坐标系，依题意，得

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），

P（0，0，2）.              （2分）

（1）因为M为PC的中点，所以M（1，，1）.

，.                 （3分）

因为，所以PB^DM.      （5分）

（2），.

因为，所以PB^AD.

又由（1）知PB^DM，且ADÇDM=D，所以PB^平面ADMN，

即为平面ADMN的法向量.                             （6分）

因此的余角等于BD与平面ADMN所成的角.       （7分）

因为，所以，    （8分）

所以BD与平面ADMN所成的角.                         （9分）

（3），，设平面PBC的法向量为，则

由得解得

令，得.                                   （10分）

，，设平面PCD的法向量为，则

由得解得

令，得.                                （11分）

因为，                       （12分）

所以，依题意可得二面角B—PC—D的大小为.          （14分）