题目内容
【题目】如图,与
都是边长为2的正三角形,平面
平面
,
平面
,
.
(1)求点到平面
的距离;
(2)求平面与平面
所成二面角的正弦值.
【答案】(1),(2)
【解析】
解法一:(1)等体积法.
取CD中点O,连OB,OM,则OB=OM=,OB⊥CD,MO⊥CD.
又平面平面
,则MO⊥平面
,所以MO∥AB,MO∥平面ABC.M、O到平面ABC的距离相等.
作OH⊥BC于H,连MH,则MH⊥BC.
求得OH=OC,
MH=.
设点到平面
的距离为d,由
得
.
即,
解得.
(2)延长AM、BO相交于E,连CE、DE,CE是平面与平面
的交线.
由(1)知,O是BE的中点,则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F,连AF,则AF⊥EC,∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为.
因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.
,
,
.
则所求二面角的正弦值为
解法二:取CD中点O,连OB,OM,则
OB⊥CD,OM⊥CD.又平面平面
,则MO⊥平面
.
取O为原点,直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图.OB=OM=,则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0,
),B(0,
,0),A(0,-
,
).
(1)设是平面MBC的法向量,则
,
.
由得
;
由得
.
取.
,则
.
(2),
.
设平面ACM的法向量为,由
得
解得
,
,取
.又平面BCD的法向量为
.
所以,
设所求二面角为,则
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某小型企业甲产品生产的投入成本x(单位:万元)与产品销售收入y(单位:万元)存在较好的线性关系,下表记录了最近5次该产品的相关数据.
x(万元) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
y(万元) | 8 | 10 | 13 | 17 | 22 |
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)根据(1)中的回归方程,判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大(毛利率)?
相关公式:,
.
【题目】某种植物感染病毒极易导致死亡,某生物研究所为此推出了一种抗
病毒的制剂,现对20株感染了
病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计;并对植株吸收制剂的量(单位:mg)进行统计.规定:植株吸收在6mg(包括6mg)以上为“足量”,否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计,其中 “植株存活”的13株,对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.
编号 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
吸收量(mg) | 6 | 8 | 3 | 8 | 9 | 5 | 6 | 6 | 2 | 7 | 7 | 5 | 10 | 6 | 7 | 8 | 8 | 4 | 6 | 9 |
(1)完成以下列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下,认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关?
吸收足量 | 吸收不足量 | 合计 | |
植株存活 | 1 | ||
植株死亡 | |||
合计 | 20 |
(2)①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株,记为“植株死亡”的数量,求
得分布列和期望
;
②将频率视为概率,现在对已知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验,设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量
,求
.
参考数据:,其中