题目内容
【题目】已知AB是⊙O的直径,直线AF交⊙O于F(不与B重合),直线EC与⊙O相切于C,交AB于E,连接AC,且∠OAC=∠CAF,求证:
(1)AF⊥EC;
(2)若AE=5,AF=2,求AC.
【答案】
(1)证明:设EC与AF交于M,连接BC,则BC⊥AC,
因为直线EC与⊙O相切于C,
所以∠ACM=∠ABC,
因为∠OAC=∠CAF,
所以∠OAC+∠ABC=∠CAF+∠ACM=90°,
所以AF⊥EC
(2)解:连接CF,则∠MCF=∠MAC,∠ECB=∠OAC,
因为∠OAC=∠CAF,
所以∠ACE=∠AFC,
所以△ACE∽△AFC,
所以 ,
所以AC2=AEAF,
因为AE=5,AF=2,
所以AC= .
【解析】(1)设EC与AF交于M,连接BC,则BC⊥AC,证明∠OAC+∠ABC=∠CAF+∠ACM=90°,即可证明AF⊥EC;(2)证明△ACE∽△AFC,可得AC2=AEAF,利用AE=5,AF=2,求AC.
【题目】某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查,调查者对学校高三年级随机抽取了100名学生,调查结果如表:
喜爱 | 不喜爱 | 总计 | |
男学生 | 60 | 80 | |
女学生 | |||
总计 | 70 | 30 |
附:K2=
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
(1)完成如表,并根据表中数据,判断是否有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”;
(2)从以上被调查的学生中以性别为依据采用分层抽样的方式抽取10名学生,再从这10名学生中随机抽取5名学生去某古典音乐会的现场观看演出,求正好有X个男生去观看演出的分布列及期望.