题目内容

8.设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线与曲线y=x3+2相切,则双曲线的离心率为$\sqrt{10}$.

分析 求出双曲线的渐近线方程,函数y=x3+2,求导函数,再设切点坐标,利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线y=x3+2相切,建立方程组,即可求得几何量之间的关系,从而可求双曲线的离心率.

解答 解:双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x,函数y=x3+2,求导函数可得y=3x2
设切点坐标为(m,n),则
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线y=x3+2相切,
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3{m}^{2}}\\{n=\frac{b}{a}m}\\{3{m}^{2}=\frac{b}{a}}\end{array}\right.$,∴m=1,$\frac{b}{a}$=3,∴b=3a,
∴c2=a2+b2=10a2
∴c=$\sqrt{10}$a,
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$
故答案为:$\sqrt{10}$.

点评 本题考查直线与曲线相切,考查双曲线的几何性质,正确运用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线y=x3+2相切是关键.

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