Question

15．已知圆O：x²十y²=l和直线l：x=3，在x轴上有一点Q（1，0），在圆O上有不与Q重 合的两动点P、M，设直线MP斜率为k₁，直线MQ斜率为k₂，直线PQ斜率为k₃． 
（l）若k₁k₂=-1，求出P点坐标； 
（2）若k₂k₃=2，判断直线PM是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）k₁k₂=-1，可得PM⊥MQ，即PQ为直径，进而得到P的坐标；
（2）运用特殊值，求出MP的两条直线方程，求得交点，再验证定点，由MP的方程代入圆的方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，计算即可得到定值2，故定点成立．

解答 解：（1）k₁k₂=-1，可得PM⊥MQ，
即有PQ为直径，即P的坐标为（-1，0）；
（2）k₂k₃=2，所以k₂，k₃同号．
不妨设k₂=1，则QM：y=x-1，与圆的方程联立，解得M（0，-1），
k₃=2，则QP：y=2（x-1），与圆的方程联立，解得P（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
此时MP：x-3y-3=0，
同理由圆的对称性，当M（0，-1）时，k₂=-1，k₃=-2，此时P（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），MP：x+3y-3=0，
若MP过定点，联立直线MP的方程，求得交点为（3，0），
验证：（3，0）是否为定点．
可设MP：y=k（x-3），代入圆x²+y²=1，可得（1+k²）x²-6k²x+9k²-1=0，
设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
则k₂k₃=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}+9-3（{x}_{1}+{x}_{2}）]}{{x}_{1}{x}_{2}+1-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，
代入韦达定理，化简可得k₂k₃=2．
则有直线PM经过定点（3，0）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查直线方程和圆的方程的运用，以及直线斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．