题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,方程
有两个相异实根
,且
,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】分析:(1)由题可得.分类讨论可得:
当时,
在区间
内单调递增,
当时,
在区间
内单调递增,在区间
内单调递减.
(2)由(1)可知,
.构造函数
,则
.令
,由导函数的性质可知
是减函数,则
,结合函数的单调性可得
,故
.
详解:(1)由题得,.
当时,由于
,可得
,
即.
∴在区间
内单调递增,
当时,由
,得
,
由,得
,
∴在区间
内单调递增,在区间
内单调递减.
(2)由(1)可设,方程的两个相异实根
,满足
,
且,
,
即.
由题意,可知,
又由(1)可知,在区间
内单调递减,故
.
令,
则.
令,
则.
当时,
,
是减函数,
∴.
∴当时,
,
即.
∵在区间
内单调递增,
∴,
故.
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