题目内容
如图，已知
、
、
为不在同一直线上的三点，且
，
.
（1）求证：平面
//平面
；
（2）若
平面，且
，
，
，求证：
平面
；
（3）在（2）的条件下，求二面角
的余弦值.
、、为不在同一直线上的三点，且，.（1）求证：平面
//平面；（2）若
平面，且，，，求证：平面；（3）在（2）的条件下，求二面角
的余弦值.（1）详见解析；（2）详见解析：（3）
.
.试题分析：（1）通过证明平行四边形分别证明
和
，利用直线与平面平行的判定定理得到
平面和
平面，最后利用平面与平面平行的判定定理证明平面
平面；（2）证法1是先证明
平面
，于是得到
，由
再由四边形为正方形得到
，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；证法2是建立以以点为原点，分别以
、
、
所在的直线为
、
、
轴的空间直角坐标系，利用空间向量法来证明平面；（3）在（2）的基础上利用空间向量法求出二面角
的余弦值.试题解析：（1）证明：
且
，
四边形是平行四边形，
，
面，
面
平面，同理可得
平面，又
，平面平面；（2）证法1：
平面，
平面，平面
平面，平面
平面
，
，，，
，
，
平面，
，
，
，又
，
得为正方形，
，又
，
平面；证法2：
，，，
，
， 平面
，
，
平面，以点
为原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系如图示，由已知可
、
、
、
、
、
，则
，
，
，
，
，
，
，又
，平面
.
（3）由（2）得
，
，设平面
的法向量
，则由
，
得
，令
得
，由（2）知
是平面的法向量，
，即二面角
的余弦值为
. （其它解法请参照给分）
练习册系列答案
相关题目
平面
，
，点
是
的中点，点
是边
上的动点.
的体积；
与平面
的位置关系，并说明理由；
.
中，
，
分别为
，
的中点.
平面
；
平面
.
中，平面
平面
,
，
．设
，
分别为
，
中点.
∥平面
；
平面
;
上是否存在点
，使得过三点 
中，底面
为菱形，
平面
为
的中点，
平面
； （II）平面
⊥平面
.
，A1D∥A2A3，A1A2⊥A2A3，A1D＝10，A1A2＝8，沿△BCD三边将△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去，恰好形成一个三棱锥ABCD，如图②.
的体积。
中，过对角线
的一个平面交棱
于E，交棱
于F，则：①四边形
一定是平行四边形；②四边形
.
、
是两个不重合的平面，m、m是两条不重合的直线，则以下结论错误的是
，则
，则
，则
，则
不垂直平面
，那么平面
不平行平面