Question

已知ab≠0，则“a+b=1”是“a³+b³+ab-a²-b²=0”的

充要

条件．

Answer 1

分析：我们先假设，a+b=1再证明a³+b³+ab-a²-b²=0成立，即命题的必要性，再假设a³+b³+ab-a²-b²=0再证明a+b=1成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0．

解答：证明：结论是：“a+b=1”是“a³+b³+ab-a²-b²=0”的 充要条件．
先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+（1-a）³+a（1-a）-a²-（1-a）²
=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²
=0
再证充分性：
∵a³+b³+ab-a²-b²=0
∴（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0
即：（a²-ab+b²）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a²-ab+b²=（a-

1

2

b）²+

3

4

b²＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0．
故答案不：充要．

点评：本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论．