题目内容
已知ab≠0，则“a+b=1”是“a3+b3+ab-a2-b2=0”的
充要
充要
条件．分析：我们先假设，a+b=1再证明a3+b3+ab-a2-b2=0成立，即命题的必要性，再假设a3+b3+ab-a2-b2=0再证明a+b=1成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0．
解答：证明：结论是：“a+b=1”是“a3+b3+ab-a2-b2=0”的 充要条件．
先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再证充分性：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0
即：（a2-ab+b2）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a2-ab+b2=（a-
b）2+
b2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0．
故答案不：充要．
先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再证充分性：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0
即：（a2-ab+b2）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a2-ab+b2=（a-
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∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0．
故答案不：充要．
点评：本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论．
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