题目内容
1.函数f(x)是R上的偶函数,当x>0时,f(x)=$\frac{2}{x}$+x-1.(1)用定义证明f(x)在(0,1)上是减函数.
(2)求当x<0时,函数的解析式.
(3)在区间(0,1)上,不等式m-f(x)<0恒成立,求m的取值范围.
分析 (1)运用单调性的定义证明,注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤;
(2)由x<0,-x>0,运用已知解析式,结合偶函数,即可得到所求解析式;
(3)由参数分离和(1)的结论,求出g(x)的范围,即可得到m的范围.
解答 解:(1)证明:设0<m<n<1,f(m)-f(n)=$\frac{2}{m}$+m-1-($\frac{2}{n}$+n-1)
=(m-n)(1-$\frac{2}{mn}$),
由0<m<n<1,可得m-n<0,0<mn<1,1-$\frac{2}{mn}$<0.
则f(m)-f(n)>0,即有f(x)在(0,1)上是减函数;
(2)当x<0时,即有-x>0时,f(-x)=-$\frac{2}{x}$-x-1,
由f(x)为偶函数,可得f(-x)=f(x),
即有f(x)=-$\frac{2}{x}$-x-1,(x<0);
(3)在区间(0,1)上,不等式m-f(x)<0恒成立,
即为m+1<x+$\frac{2}{x}$,
由g(x)=x+$\frac{2}{x}$在(0,1)递减,则g(x)>3,
即有m+1≤3,
解得m≤2.
点评 本题考查函数的单调性的判断和运用,考查函数的奇偶性和运用,考查不等式恒成立问题的解法,属于中档题.
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