题目内容
9．
在第十六届广州亚运会上，某项目的比赛规则为：由两人（记为甲和乙）进行比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞0.5），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为$\frac{5}{9}$．（Ⅰ）求实数p的值；
（Ⅱ）如图为统计比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件；
（Ⅲ）设ζ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ζ的分布列和数学期望Eζ．
分析 （Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，又知第二局比赛结束时比赛停止的概率为$\frac{5}{9}$．用P表示出第二局比赛结束的概率，使它等于$\frac{5}{9}$，解出结果．
（Ⅱ）从框图知，这是一个含有两个条件的框图，结合题目所给的条件，程序框图中的第一个条件框应填M＞1？（或M≥2），第二个应填n＞5？（或n≥6？）；
（Ⅲ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为$\frac{5}{9}$．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．写出分布列和期望．
解答 解：（Ⅰ）若两局结束比赛，则甲连赢两局或乙连赢两局，
即 p2+（1-p）2=$\frac{5}{9}$，
解得p=$\frac{1}{3}$（舍去）或p=$\frac{2}{3}$，
∴p的值为$\frac{2}{3}$，
（Ⅱ）从框图知，这是一个含有两个条件的框图，结合题目所给的条件
程序框图中的第一个条件框应填M＞1？（或M≥2）；
第二个应填n＞5？（或n≥6？）；
（Ⅲ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为$\frac{5}{9}$．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P（ξ=2）=$\frac{5}{9}$，
P（ξ=4）=（1-$\frac{5}{9}$）（$\frac{5}{9}$）=$\frac{20}{81}$，
P（ξ=6）=（1-$\frac{5}{9}$）（1-$\frac{5}{9}$）•1=$\frac{16}{81}$．
∴随机变量ξ的分布列为：
| ξ | 2 | 4 | 6 |
| P | $\frac{5}{9}$ | $\frac{20}{81}$ | $\frac{16}{81}$ |
点评 本题第二问答案不唯一，如：第一个条件框填M＞1，第二个条件框填n＞5，或者第一、第二条件互换．都可以．这是一个比较新颖的问题．
浙江之星学业水平测试系列答案
高效智能课时作业系列答案| A． | $\frac{2}{5}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{9}{10}$ |
上的函数
满足：①
；②
；③当
时，
，则
、
、
满足（ ）
的六个顶点都在半径为1的半球面上，
，侧面
是半球底面圆的内接正方形，则侧面
的面积为（ ）
D．