题目内容

(本小题满分12分)
已知点是区域,()内的点,目标函数的最大值记作.若数列的前项和为,且点()在直线上.
(Ⅰ)证明:数列为等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和.

解:(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ)∴

解析试题分析:(1)根据当直线过点时,目标函数取得最大值,故
进而得到的关系式,然后利用通项公式与前n项和的关系得到证明。
(2)由(Ⅰ)得,∴,根据通项公式的特点,分组求和得到结论。
解:(Ⅰ)由已知当直线过点时,目标函数取得最大值,故
∴方程为
∵()在直线上, 
 ①
 ②
由①-②得,      ∴

,    ∴数列为首项,为公比的等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,∴
,  ∴


考点:本试题主要考查了等比数列的定义和数列的求和的综合运用。
点评:解决该试题的关键是分析出线性目标函数的最优解,然后得到,然后得到

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