题目内容
【题目】在如图的空间几何体中，
是等腰直角三角形，
，四边形
为直角梯形，
，
为
中点.
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）若
，求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取
中点为
，连接
和
，可得面
面
，进而可得结论；
（Ⅱ）法一，利用几何法求线面角；法二，建立空间直角坐标系，利用向量运算求线面角.
法一：（Ⅰ）证明：取中点为，连接和，
有
，
面，
有
，
面，
，
面面.
面
，
平面；
（Ⅱ）
四边形
为梯形，
，为中点，
，即四边形
为平行四边形，
.
要求
与平面
所成角，只需求与平面所成角，
连接
，
，
由题意可知，
，
，
面
，
面
面，
点
到面
的距离就是点到的距离.
，
面，
，
，
，又
，
，
点到的距离为
.
在三棱锥
中，
，
根据
，
.
记点到面的距离为
，
由
，得
.
所以与平面所成角的正弦为
.
法二：以
为
轴，过点
作
平面的垂线为
轴，建立空间直角坐标系，如图，
设点
由题意可得：
由
设平面
法向量为
，
，
即：
，
故与平面所成角的正弦值为.
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