题目内容
【题目】各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足：Sn= 
an2+ 
an+ （n∈N*）
（1）求an
（2）设数列{ 
}的前n项和为Tn ， 证明：对一切正整数n，都有Tn＜ 
．
【答案】
（1）解：∵ 
，
当n=1时， 
，解得a1=1．
当n≥2时， 
；
∴an=Sn﹣Sn﹣1= 
+ 
an﹣ 
an﹣12﹣ an﹣1．
整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
又∵数列{an}各项为正数，∴当n≥2时，an﹣an﹣1=2，
故数列{an}为首项为1，公差为2的等差数列．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）证明：可知Tn= 
= 
∵ 
，
∴ 
= 
=1+ ﹣ 
＜ 
【解析】（1）分别把n=1和n=n﹣1代入条件式计算a1和递推公式，得出{an}为等差数列，从而得出通项公式；（2） 
= 
＜ 
，再使用列项求和得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．
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