题目内容

(本小题满分13分)

       如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,,点D是棱BC的中点。

   (Ⅰ)求证:平面BCC1B1

   (Ⅱ)求证:A1B//平面AC1D;

   (Ⅲ)求平面AC1D与平面ACC1A1所成的锐二面角的余弦值。

(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)证明:因为侧面均为正方形

所以

所以平面  ……………………………………………………………1分

因为平面,所以     ………………………………2分

又因为中点,所以     ………………………3分

因为,所以平面    ………………………………4分

(Ⅱ)证明:连结,交于点,连结

因为为正方形,所以中点

中点,所以中位线

所以   …………………………6分

因为平面平面

所以平面………………………8分

 (Ⅲ)解: 因为侧面均为正方形,

 所以两两互相垂直,

如图所示建立直角坐标系

,则

   ………………9分

设平面的法向量为,则有

, 所以

,得      ………………10分

又因为平面

所以平面的法向量为………………………………………11分

       ………………………………………12分

所以,平面与平面所成的锐二面角的余弦值………………13分

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