题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
3
2
，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny-4=0与圆C′：x2+y2=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．
分析：（1）依题意可求得a=2，再利用其离心率e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
可求得b，从而可求得椭圆C的方程；
（2）设圆心O到直线L的距离为d，可求得d=
4
4+12n2
，结合n∈（0，1]，可求得d的范围；利用基本不等式可求得S△OAB最大值为2，继而可得n，m的值，从而可求得直线L的方程．
解答：解：（1）由椭圆定义知2a=4，
∴a=2，又e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
得b=1，
∴所求椭圆方程为
x2
4
+y2=1．
（2）设圆心O到直线L的距离为d，则d=
4
m2+(4n)2
，又有
m2
4
+n2=1，
所以d=
4
m2+(4n)2
=
4
4+12n2
，又n∈（0，1]，
∴d∈[1，2），
S△OAB=
1
2
|AB|•d=
4-d2
•d=
d2(4-d2)
≤
(
d2+4-d2
2
)2
=2（当d2=4-d2即d=
2
时S△OAB最大），
∴S△OAB最大值为2，
d=
2
⇒
4
4+12n2
=
2
，n＞0，
∴n=
3
3
，
m2=4-4n2=
8
3
，又m＞0，
∴m=
2
6
3
．
所以直线L的方程为
2
6
3
x+
4
3
3
y-12=0，即x+
2
y-3
6
=0．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，突出考查基本不等式的应用，考查分析、运算的能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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