Question

已知f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点(

x

3

，

y

2

)在函数y=g（x）的图象上运动．
（1）求函数y=g（x）的解析式．
（2）求使g（x）＞f（x）的x的取值范围．
（3）在（2）的范围内，求y=g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令

x

3

=m，

y

2

=n，由题设条件知n=

1

2

log2(3m+1)，再由（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，即可得到函数y=g（x）的解析式．
（2）由题意知

1

2

log2(3x+1)≥log2(x+1)．由对数函数的性质可得

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，解不等式组即可得到使g（x）＞f（x）的x的取值范围．
（3）由题疫条件知g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．由此可知结合基本不等式即可求出g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）令（a，b）点是函数y=g（x）的图象上的动点
则a=

x

3

，b=

y

2

，则x=3a，y=2b，
∵点（x，y）在函数y=f（x）的图象上
∴（x，y）满足函数f（x）=log₂（x+1），
即2b=log₂（3a+1），
即b=log₂

3a+1

，
故函数y=g（x）=log₂

3x+1

（x＞-

1

3

），
（2）若g（x）＞f（x）
即log₂（x+1）＜log₂

3x+1

即（x+1）²＜3x+1
解得0＜x＜1
（3）∵（Ⅲ）因为0≤x≤1，
所以g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．
当且仅当3x+1=2时，即 x=

1

3

时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为

1

2

log2

9

8

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，其中（1）中求解析式是坐标法中的“点随点动”问题，（2）中关键是根据对数函数的性质构造关于x的不等式组，（3）的关键是根据基本不等式，求出真数部分的最大值，进而根据对数函数的单调性，得到y=g（x）-f（x）的最大值．