Question

（本小题满分13分）

如图所示，椭圆C：的一个焦点为 F(1,0)，且过点。

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，  

直线：＝4与轴交于点N，直线AF与BN交

于点M。

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMN面积的最大值．

Answer 1

(1)解：由题设，从而，

所以椭圆C的方程为                    ………………………………3分

(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)．

设，则，.

AF与BN的方程分别为：

.

设，则有

由上得                      ………………………………6分

由于

＝＝1.

所以点M恒在椭圆C上．                                 ………………………………8分

(ⅱ)解：设AM的方程为，代入，

得

设、，则有，.

＝＝. ………………………10分

令，则

＝

因为函数在为增函数，

所以当即时，函数有最小值4.

即时,有最大值3，                   

△AMN的面积S_△AMN＝·有最大值 .        …………………13分