题目内容
如图所示,四边形EFGH所在平面为三棱锥A-BCD的一个截面,四边形EFGH为平行四边形.
(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.
(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.
(1)见解析 (2) (8,12)
(1)∵四边形EFGH为平行四边形,
∴EF∥GH.
∵HG?平面ABD,EF?平面ABD,
∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,
∴EF∥AB.
∵EF?平面EFGH,AB?平面EFGH,
∴AB∥平面EFGH.
同理可得CD∥平面EFGH.
(2)设EF=x(0<x<4),四边形EFGH的周长为l.
由(1)知EF∥AB,则
=
.
又由(1)同理可得CD∥FG,
则
=
,
∴
==
=1-.
从而FG=6-
x.
∴四边形EFGH的周长l=2(x+6-x)=12-x.
又0<x<4,∴8<l<12,
即四边形EFGH周长的取值范围为(8,12).
∴EF∥GH.
∵HG?平面ABD,EF?平面ABD,
∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,
∴EF∥AB.
∵EF?平面EFGH,AB?平面EFGH,
∴AB∥平面EFGH.
同理可得CD∥平面EFGH.
(2)设EF=x(0<x<4),四边形EFGH的周长为l.
由(1)知EF∥AB,则
=.又由(1)同理可得CD∥FG,
则
=,∴
===1-.从而FG=6-
x.∴四边形EFGH的周长l=2(x+6-
x)=12-x.又0<x<4,∴8<l<12,
即四边形EFGH周长的取值范围为(8,12).
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