题目内容
已知数列{an}中a1=2，前n项的和为Sn，且4tSn+1-（3t+8）Sn=8t，其中t＜-3，n∈N*；（1）证明数列{an}为等比数列；
（2）判定{an}的单调性，并证明．
分析：（1）由4tSn+1-（3t+8）Sn=8t按照通项与前n项和间的关系，分当n=1和n≥2两种情况探求得4tan+1-（3t+8）an=0，进而变形得
=
（n≥2，∴t＜-3）由等比数列的定义判断．
（2）因为是正项数列，可用作商比较法
=
=
+
＜1得到{an}为递减数列．
| an+1 |
| an |
| 3t+8 |
| 4t |
（2）因为是正项数列，可用作商比较法
| an+1 |
| an |
| 3t+8 |
| 4t |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| t |
解答：解（1）证明：∵4tSn+1-（3t+8）Sn=8t①
当n=1时，4t（a1+a2）-（3t+8）a1=8t而a1=2?a2=
（2分）
又∵4tSn-（3t+8）Sn-1=8t②（n≥2）
由①②得4tan+1-（3t+8）an=0
即
=
（n≥2，∴t＜-3）（4分）
而
≠0又
=
∴{an}是等比数列（8分）
（2）∵an=2（
)n-1＞0＞0（∵t＜-3）
=
=
+
（12分）
∵t＜-3∴
∈(
，
)（14分）
则
＜1?an+1＜an
∴{an}为递减数列（16分）
当n=1时，4t（a1+a2）-（3t+8）a1=8t而a1=2?a2=
| 8+3t |
| 2t |
又∵4tSn-（3t+8）Sn-1=8t②（n≥2）
由①②得4tan+1-（3t+8）an=0
即
| an+1 |
| an |
| 3t+8 |
| 4t |
而
| 3t+8 |
| 4t |
| a2 |
| a1 |
| 8+3t |
| 4t |
∴{an}是等比数列（8分）
（2）∵an=2（
| 3t+8 |
| 4t |
| an+1 |
| an |
| 3t+8 |
| 4t |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| t |
∵t＜-3∴
| an+1 |
| an |
| 1 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
则
| an+1 |
| an |
∴{an}为递减数列（16分）
点评：本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系和判断数列的方法，一般用定义或通项公式，证明数列是单调数列时往往用比较法．
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