Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，且，椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1） ;（2） 或．

【解析】

试题分析：（1）根据所给的条件，用椭圆的基本量表示，解得方程；

（2）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示和，并且根据条件，表示坐标的关系，代入根与系数的关系后，消去或，得到关于斜率的方程，解得斜率，求得直线方程.

试题解析：（1）依题意，，因为，故．

因为，故，故，

故椭圆的标准方程为．

（2）若与轴垂直，则的方程为，，为椭圆短轴上两点，不符合题意．

若与轴不垂直，设的方程，由得，．

设，，则，，

由，得，∴，

∴，，，

解得，直线的方程为，即或．