Question

【题目】如图，三棱锥中，两两垂直，，，分别是的中点.

（1）证明：平面面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由中位线定理证得，由线面平行的判定定理说明平面，同理可证平面，再由面面平行的判定定理说明平面面；

（2）由三棱锥中，两两垂直，即可以为坐标原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，分别表示点P,A,B,F的坐标，进而求得与面的法向量，设与面所成角为，由算得答案.

（1）证明：∵分别是的中点，

∴，又平面，平面

∴平面，

同理可得：平面，

又平面，平面，，

∴平面平面.

（2）以为坐标原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，，

∴，，，

设平面的法向量，则，

∴，令可得.

∴.

设与面所成角为，则.

∴与面所成角的正弦值为.