题目内容

【题目】如图,在四棱锥E﹣ABCD中,△ABD是正三角形,△BCD是等腰三角形,∠BCD=120°,EC⊥BD.
(Ⅰ)求证:BE=DE;
(Ⅱ)若AB=2 ,AE=3 ,平面EBD⊥平面ABCD,直线AE与平面ABD所成的角为45°,求二面角B﹣AE﹣D的余弦值.

【答案】证明:(Ⅰ)取BD中点O,连结CO,EO, ∵△BCD是等腰三角形,∠BCD=120°,∴CB=CD,∴CO⊥BD,
又∵EC⊥BD,EC∩CO=C,∴BD⊥平面EOC,∴EO⊥BD,
在△BDE中,∵O为BD的中点,∴BE=DE.
(Ⅱ)∵平面EBD⊥平面ABCD,平面EBD∩平面ABCD=BD,
EO⊥BD,
∴EO⊥平面ABCD,又∵CO⊥BD,AO⊥BD,
∴A,O,C三点共线,AC⊥BD,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,
在正△ABCD中,AB=2 ,∴AO=3,BO=DO=
∵直线AE与平面ABD所成角为45°,∴EO=AO=3,
A(3,0,0),B(0, ,0),D(0,﹣ ,0),E(0,0,3),
=(﹣3, ,0), =(﹣3,﹣ ,0), =(﹣3,0,3),
设平面ABE的法向量 =(a,b,c),
,取a=1,得 =(1, ,1),
设平面ADE的法向量 =(x,y,z),
,取x=1,得 =(1,﹣ ,1),
设二面角B﹣AE﹣D为θ,
则cosθ= = =
∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为

【解析】(Ⅰ)取BD中点O,连结CO,EO,推导出CO⊥BD,EO⊥BD,由此能证明BE=DE.(Ⅱ)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值.
【考点精析】通过灵活运用棱锥的结构特征,掌握侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方即可以解答此题.

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