定义在上的函数满足:①对任意都有:,②当时..回答下列问题．(1)证明:函数在上的图像关于原点对称,(2)判断函数在上的单调性.并说明理由．(3)证明:.. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

定义在上的函数满足：①对任意都有：；②当时，，回答下列问题．
（1）证明：函数在上的图像关于原点对称；
（2）判断函数在上的单调性，并说明理由．
（3）证明：，.

解析试题分析：（1）利用条件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第项化为，由此左边可以化为，再利用第（2）小题的结论得出，原不等式得证.
试题解析：（1）令，
令，则.
所以，在上是奇函数．               4分
（2）设，则
，            6分
而，，        7分
即当时，．
∴在上单调递减．                8分
（3）

，
，
.
.             13分
考点：函数的奇偶性、单调性，转化与化归思想.

练习册系列答案

相关题目

已函数是定义在上的奇函数,在上时
（Ⅰ）求函数的解析式;
（Ⅱ）解不等式．

函数（为常数）的图象过原点，且对任意总有成立；
（1）若的最大值等于1，求的解析式；
（2）试比较与的大小关系.

已知奇函数

（1）求实数的值，并在给出的直角坐标系中画出的图象；
（2）若函数在区间上单调递增，试确定实数的取值范围.

已知定义域为的函数是奇函数.
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（Ⅲ）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.

已知函数，恒过定点 (3,2).
(1)求实数；
(2)在(1)的条件下，将函数的图象向下平移1个单位，再向左平移个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式；
(3)对于定义在[1,9]的函数，若在其定义域内，不等式恒成立，求的取值范围．

新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.
（1）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.
（2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①； ②
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

已知函数且．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并给予证明．

已知函数，.
(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. （注：是自然对数的底数）

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