Question

(本小题满分13分)已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的
底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，
M为线段AC₁的中点.  （1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求平面AFC₁与与平面ABCD所成二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ)见解析  （Ⅲ）30°或150°

法一：
（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN。因为F是BB₁的中点，
      所以F为C₁N的中点，B为CN的中点。····2分
又M是线段AC₁的中点，故MF∥AN。·····3分
又MF平面ABCD，AN平面ABCD。
∴MF∥平面ABCD。                                ···5分
（2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁
可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，
∴A₁A⊥BD。∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD。
又∵AC∩A₁A=A，AC，AA平面ACC₁A₁。
∴BD⊥平面ACC₁A₁。                                                              ·················7分
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因为NA平面AFC₁
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁
（3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。
又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角。···10分
在Rt△C₁AC中，tan，故∠C₁AC=30°···12分
∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。···13分