Question

8．已知对任意x∈R，cos（x+α）+sin（x+β）+$\sqrt{2}$cosx=0恒成立，其中α，β为常数．
（1）求cosα的值；
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由x的任意性，分别取x=0和x=$\frac{π}{2}$解方程组可得cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）可得sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由同角三角函数基本关系可得sinα，分类讨论代入cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ计算可得．

解答 解：（1）由题意对任意x∈R，cos（x+α）+sin（x+β）+$\sqrt{2}$cosx=0恒成立，
取x=0可得cosα+sinβ+$\sqrt{2}$=0，∴sinβ=-（cosα+$\sqrt{2}$），①
取x=$\frac{π}{2}$可得-sinα+cosβ=0，∴cosβ=sinα，②
①²+②²可得cos²α+2$\sqrt{2}$cosα+2+sin²α=1，
∴cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）把cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$代入①可得sinβ=-（cosα+$\sqrt{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由同角三角函数基本关系可得sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，cosβ=sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=0；
当sinα=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，cosβ=sinα=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=0；
综上可得cos（α+β）=0

点评 本题考查和差角的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和分类讨论思想，属中档题．