题目内容
3.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,x∈R.(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)求函数f(x)在区间$[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值.
分析 (1)由三角函数公式化简可得f(x)=$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$),解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得函数f(x)的单调递减区间;
(2)由x∈$[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$结合三角函数可得最值.
解答 解:(1)由三角函数公式化简可得f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1
=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$)
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$,
∴函数f(x)的单调递减区间为:[kπ+$\frac{π}{8}$,kπ+$\frac{5π}{8}$](k∈Z);
(2)∵x∈$[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$,∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$],
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时,函数f(x)取最大值$\sqrt{2}$,
当2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$时,函数f(x)取最小值-1.
点评 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及三角形的单调性和最值,属基础题.
练习册系列答案
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