Question

2．已知函数$f（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+ax-1$；
（1）若函数f（x）在（-∞，+∞）上至少有一个零点，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；
（3）若函数g（x）=f（x）+1在R上的最大值不大于$\frac{1}{6}$，又当$x∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$时，$f（x）≥\frac{1}{8}$，求a得值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在（-∞，+∞）上至少有一个零点，则△≥0，进而可得a的取值范围；
（2）首先把函数的一般式转化为顶点式，进一步求出对称轴方程利用分类讨论思想求出相应的结果．
（3）先利用函数f（x）的最大值不大于$\frac{1}{6}$，求出a的范围，进一步利用分类讨论思想求出a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）在（-∞，+∞）上至少有一个零点，
则方程$-\frac{3}{2}{x}^{2}+ax-1=0$至少有一个实数根，
∴△=${a}^{2}-4×（-\frac{3}{2}）×（-1）$=a²-6≥0，
解得：a∈（-∞，-$\sqrt{6}$]∪[$\sqrt{6}$，+∞）
（2）函数$f（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+ax-1$=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{a}{3}$）²+$\frac{{a}^{2}}{6}$-1．
则：函数的图铃为开口方向向下，对称轴为x=$\frac{a}{3}$的抛物线．
①当1≤$\frac{a}{3}$≤2时，即3≤a≤6，f（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{6}$-1，
②当$\frac{a}{3}$＞2时，即a＞6，函数在区间[1，2]是增函数．
则：f（x）_max=f（2）=2a-7，
③当$\frac{a}{3}$＜1时，即a＜3，函数在区间[1，2]是减函数．
则：f（x）max=f（1）=a-$\frac{5}{2}$，
（3）由于g（x）=f（x）+1的最大值不大于$\frac{1}{6}$，
所以$\frac{{a}^{2}}{6}$≤$\frac{1}{6}$
即-1≤a≤1，
①当$\frac{1}{4}$≤$\frac{a}{3}$≤$\frac{1}{2}$时，即$\frac{3}{4}$≤a≤$\frac{3}{2}$与-1≤a≤1矛盾，
②当$\frac{a}{3}$＞$\frac{1}{2}$即a＞$\frac{3}{2}$与-1≤a≤1矛盾，
③当$\frac{a}{3}$＜$\frac{1}{4}$时，即a＜$\frac{3}{4}$，函数f（x）max=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{a}{4}$-$\frac{3}{32}$≥$\frac{1}{8}$，
解得：a≥$\frac{7}{8}$；
综上所述：$\frac{7}{8}$≤a≤1．

点评 本题考查的知识要点：二次函数的顶点式与一般式的互化，不定对称轴与定区间进行分类讨论，二次函数的单调性和最值．