Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
（3）证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．

Answer 1

分析：（1）据切点处的导数值为曲线切线斜率，求导函数的范围也就是切线斜率范围．
（2）互相垂直的切线斜率互为负倒数，由（1）求斜率范围，据切点处的导数值为曲线切线斜率，求切点横坐标范围．
（3）据切点处的导数值为曲线切线斜率，求出两切点处的两条直线，它们的斜率相等和纵截距得矛盾．

解答：解：（1）f′（x）=x²-4x+3，
则f′（x）=（x-2）²-1≥-1，
即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1，+∞）；
（2）由（1）可知，

k≥-1 - 1 k ≥ -1

解得-1≤k＜0或k≥1，
由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1
得：x∈(-∞，2-

2

]∪(1，3)∪[2+

2

，+∞]；
（3）设存在过点A（x₁，y₁）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x₂，y₂），x₁≠x₂
，则切线方程是：y-( 

1

3

x13-2x12+3x1)=（x₁²-4x₁+3）（x-x₁），
化简得：y=（x₁²-4x₁+3）x+(-

2

3

x13+2x12)
而过B（x₂，y₂）的切线方程是y=（x₂²-4x₂+3）x+(-

2

3

x23+2x22)，
由于两切线是同一直线，
则有：x₁²-4x₁+3=x₂²-4x₂+3，得x₁+x₂=4，
又由-

2

3

x13+2x12=-

2

3

x23+2x22，
即-

2

3

(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0
-

1

3

(x12+x1x2+x22)+4=0，即x₁（x₁+x₂）+x₂²-12=0
即（4-x₂）×4+x₂²-12=0×4+x₂²-12=0，x₂²-4x₂+4=0
得x₂=2，但当x₂=2时，由x₁+x₂=4得x₁=2，这与x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．

点评：考查切点处的导数值为曲线切线斜率，同一条直线斜率和纵截距相等，与解不等式、方程结合解题．