Question

【题目】设函数，函数，，其中为常数且，令函数.

(1)求函数的表达式，并求其定义域；

(2)当时,求函数的值域；

(3)是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由.

Answer 1

【答案】（1），其定义域为[0，a]；（2）值域为 ；（3）a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}

【解析】

（1）求出函数f（x）的表达式，由g（x），h（x）的定义域求解函数f（x）的定义域．

（2）当时，函数f（x）的定义域即可确定，利用换元和基本不等式求最值即可；

（3）结合（2）利用函数的值域求出关于a的表达式，求出a的范围即可．

（1），其定义域为[0，a]；

（2）令，则且x＝（t﹣1）2

∴

∴

∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，

∴在上递增，即此时f（x）的值域为

（3）令，则且x＝（t﹣1）2∴

∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，

∴y在[1，2]上递增，上递减，

t＝2时的最大值为，

∴a≥1，又1＜t≤2时

∴由f（x）的值域恰为，由，解得：t＝1或t＝4

即f（x）的值域恰为时，

所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．