Question

在平面四边形ABCD中，△ABC为正三角形，△ADC为等腰直角三角形，AD=DC=2，将△ABC沿AC折起，使点B至点P，且PD=2，M为PA的中点，N在线段PD上．

（I）若PA⊥平面CMN，求证：AD∥平面CMN；
（II）求直线PD与平面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先证明PA⊥AD，利用PA⊥平面CMN，可得PA⊥MN，从而可得MN∥AD，利用线面平行的判定，可得AD∥平面CMN；
（II）取AC中点E，连接ED、PE，过P作PF⊥ED交ED于F，则可得∠PDE为直线PD与平面ACD所成的角，在△PDE中，利用余弦定理，可求直线PD与平面ACD所成角的余弦值．
解答：（I）证明：∵AD=2，PA=，PD=2
∴PA²+AD²=PD²，∴PA⊥AD
∵PA⊥平面CMN，∴PA⊥MN
∴MN∥AD
∵AD?平面CMN，MN?平面CMN，
∴AD∥平面CMN；
（II）解：取AC中点E，连接ED、PE，过P作PF⊥ED交ED于F

∵△APC为正三角形，∴AC⊥PE
∵AD=DC，∴AC⊥DE
∵PE∩DE=E，∴AC⊥平面PED
∵PF?平面PED
∴PF⊥AC，PF⊥BD，AC∩ED=E
∴PF⊥平面ACD
∴∠PDE为直线PD与平面ACD所成的角
在△PDE中，∵PE=，ED=，PD=2
∴cos∠PDE==
∴直线PD与平面ACD所成角的余弦值为．
点评：本题考查线面平行，考查线面角，掌握线面平行的判定，正确作出线面角是关键．