题目内容
(2007•武汉模拟)如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,∠BAD=θ,而△BCD是正三角形,
(1)将四边形ABCD面积S表示为θ的函数;
(2)求S的最大值及此时θ角的值.
(1)将四边形ABCD面积S表示为θ的函数;
(2)求S的最大值及此时θ角的值.
分析:(1)四边形ABCD的面积分为两三角形面积之和来求,三角形ABD的面积由AB,AD及sinA的值,利用三角形的面积公式可表示出,三角形BCD为等边三角形,其面积为
BD2,接着由AB,AD及cosA的值,利用余弦定理表示出BD2,可表示出三角形BCD的面积,两者相加去括号后,利用两角和与差的正弦函数公式化简可表示出四边形ABCD的面积,并求出此时θ的范围;
(2)由(1)表示出的S关系式,根据θ的范围,求出θ-
的范围,再由正弦函数的图象与性质可得出面积S的最大值,以及此时θ的度数.
| ||
4 |
(2)由(1)表示出的S关系式,根据θ的范围,求出θ-
π |
3 |
解答:解:(1)△ABD的面积S=
AB•AD•sinA=
×1×1×sinθ=
sinθ,
∵△BDC是正三角形,则△BDC面积=
BD2,
由△ABD及余弦定理可知:BD2=12+12+2•1•1•cosθ=2-2cosθ,
于是四边形ABCD面积S=
sinθ+
(2-2cosθ),
整理得:S=
+sin(θ-
)其中0<θ<π;
(2)由(1)得到的S=
+sin(θ-
),
∵0<θ<π,∴-
<θ-
<
,
则当θ-
=
时,S取得最大值1+
,此时θ=
+
=
.
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵△BDC是正三角形,则△BDC面积=
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4 |
由△ABD及余弦定理可知:BD2=12+12+2•1•1•cosθ=2-2cosθ,
于是四边形ABCD面积S=
1 |
2 |
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4 |
整理得:S=
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2 |
π |
3 |
(2)由(1)得到的S=
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2 |
π |
3 |
∵0<θ<π,∴-
π |
3 |
π |
3 |
2π |
3 |
则当θ-
π |
3 |
π |
2 |
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2 |
π |
3 |
π |
2 |
5π |
6 |
点评:此题考查了三角形的面积公式,余弦定理,等边三角形的性质,两角和与差的正弦函数公式以及正弦函数的定义域和值域,综合性比较强,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
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