题目内容

设函数f(x)=ax3﹣2bx2+cx+4d (a、b、c、d∈R)图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值﹣
(1)求a、b、c、d的值;
(2)当x∈[﹣1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?证明你的结论;
(3)若x1,x2∈[﹣1,1]时,求证:.|f(x1)﹣f(x2)≤|.
解:(1)∵函数f(x)图象关于原点对称,
∴对任意实数x,都有f(﹣x)=﹣f(x).
∴﹣ax3﹣2bx2﹣cx+4d=﹣ax3+2bx2﹣cx﹣4d,即bx2﹣2d=0恒成立.
∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.
∴f′(x)=3ax2+c.
∵x=1时,f(x)取极小值﹣ .
∴f ′(1)=0且f(1)=﹣ ,
即3a+c=0且a+c=﹣ .
解得a= ,c=﹣1.
(2)当x∈[﹣1,1]时,图象上不存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直
证明:假设存在x1,x2,则f '(x1f '(x2)=﹣1
所以(x12﹣1)(x22﹣1)=﹣1
因为x1,x2∈[﹣1,1]
所以x12﹣1,x22﹣1∈[﹣1,0]
因此(x12﹣1)(x22﹣1)≠﹣1
所以不存在.
(3)证明:∵f ′(x)=x2﹣1,由f ′(x)=0,得x=±1.
当x∈(﹣∞,﹣1)或(1,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(﹣1,1)时,f ′(x)<0.
∴f(x)在[﹣1,1]上是减函数,且fmax(x)=f(﹣1)= ,fmin(x)=f(1)=﹣ .
∴在[﹣1,1]上,|f(x)|≤ .
于是x1,x2∈[﹣1,1]时,|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max﹣f(x)min|= 
故x1,x2∈[﹣1,1]时,|f(x1)﹣f(x2)|≤ 
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