Question

在任意三角形ABC内任取一点Q，使S_△ABQ≥

1

3

S_△ABC的概率于

4

9

．

Answer 1

分析：设DE是△ABC平行于AB，且

CD

CA

=

CE

CB

=

1

3

，可得当Q点位于△ABC内部的线段DE上方时，能使S_△ABQ≥

1

3

S_△ABC因此所求的概率等于△CDE的面积与△ABC的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可．

解答：解：分别取CA、CB点D、E，且

CD

CA

=

CE

CB

=

1

3

，连接DE
∴DE上一点到AB的距离等于C到AB距离的

1

3

，
设C到AB的距离为h，则当动点P位于线段DE上时，
△QAB的面积S=

1

2

AB•

1

3

h=

1

3

S_△ABC=

1

3

S
因此，当点Q位于△ABC内部，且位于线段DE上方时，△QAB的面积大于

1

3

S．
∵△CDE∽△CAB，且相似比

CD

CA

=

1

3

∴S_△CDE：S_△ABC=

4

9

由此可得△PAB的面积大于 

1

3

S的概率为P=

4

9

．
故答案为：

4

9

．

点评：本题给出三角形ABC内部一点P，求三角形PBC面积大于或等于三角形ABC面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题．