Question

【题目】写出命题“已知a ， b∈R ， 若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

Answer 1

【答案】解：逆命题：已知a ， b∈R ， 若a2≥4b ， 则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
否命题：已知a ， b∈R ， 若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b ， 为真命题．
逆否命题：已知a ， b∈R ， 若a2<4b ， 则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
【解析】写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ， 则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提；判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例；根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用四种命题间的逆否关系和四种命题的真假关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题；一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题)①、原命题为真，它的逆命题不一定为真;②、原命题为真，它的否命题不一定为真;③、原命题为真，它的逆否命题一定为真．