题目内容
若椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求
| OA |
| OB |
分析：（1）把点（3，2）代入椭圆方程，进而根据离心率和a，b，c的关系求得a和b，则椭圆方程可得．
（2）当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切，进而可求得圆心（0，0）到直线PA的距离求得k，则直线方程可得．
（3）设∠AOP=α，则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，根据二倍角公式求得cos∠AOB，进而根据
•
=
•
cos∠AOB求得
•
的最大值与最小值．
（2）当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切，进而可求得圆心（0，0）到直线PA的距离求得k，则直线方程可得．
（3）设∠AOP=α，则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，根据二倍角公式求得cos∠AOB，进而根据
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
解答：解：（1）由题意得：
解得a=
，b=
所以椭圆的方程为
+
=1
（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．
因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切，所圆心（0，0）到直线PA的距离为
即
=
，
可得k=
或k=
所以直线PA的方程为：x-3y+10=0或13x-9y-50=0
（3）设∠AOP=α，
则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，
则cos∠AOB=2cos2α-1=
-1，
∴
•
=
•
cos∠AOB=
-10
∴（
•
）max=-
，（
•
）min=-
|
| 15 |
| 10 |
所以椭圆的方程为
| x2 |
| 15 |
| y2 |
| 10 |
（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．
因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切，所圆心（0，0）到直线PA的距离为
| 10 |
即
| |8k-6| | ||
|
| 10 |
可得k=
| 1 |
| 3 |
| 13 |
| 9 |
所以直线PA的方程为：x-3y+10=0或13x-9y-50=0
（3）设∠AOP=α，
则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，
则cos∠AOB=2cos2α-1=
| 20 |
| |0P|2 |
∴
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| 200 |
| |0P|2 |
∴（
| OA |
| OB |
| 55 |
| 8 |
| OA |
| OB |
| 155 |
| 18 |
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和向量的基本计算．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
若椭圆
+y2=1（a＞0）的一条准线经过抛物线y2=-8x的焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|