题目内容
【题目】已知圆C过点
，且与圆M：
关于直线
对称．
求圆C的方程；
过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
【答案】（1）
（2）直线AB和OP一定平行．证明见解析
【解析】
由已知中圆C过点
，且圆M：
关于直线
对称，可以求出圆心坐标，即可求出圆C的方程；
由已知可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：
，PB：
，求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB斜率是否相等，即可得到答案．
由题意可得点C和点
关于直线
对称，
且圆C和圆M的半径相等，都等于r．
设
，由
且
，解得：
，
．
故原C的方程为
．
再把点
代入圆C的方程，求得
．
故圆的方程为：；
证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，
且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，
则得直线OP和AB平行，
理由如下：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：
，PB：
．
由
，得
，
因为
的横坐标
一定是该方程的解，
，
同理可得
．
由于AB的斜率
的斜率
，
所以直线AB和OP一定平行．
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