题目内容

已知中心在原点的椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1的焦点为F₁（0，3），M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF₁的面积为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程．
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相较于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程，请说明理由．．

解：（1）因为椭圆C的焦点为F₁（0，3），∴b²=a²+9，则椭圆C的方程为 $\text{[math]}$
∵M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF₁的面积为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴x=1，∴M（1，4）
代入椭圆C的方程 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$
∴a⁴-8a²-9=0
∴a²=9
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程为y=4x+m，代入椭圆方程，消去y，可得18x²+8mx+m²-18=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ，
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以 $\text{[math]}$
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+16x₁x₂+4m（x₁+x₂）+m²=0
∴17× $\text{[math]}$ -4m× $\text{[math]}$ +m²=0
∴ $\text{[math]}$
此时△=64m²-72（m²-18）＞0
∴直线方程为y=4x $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据椭圆C的焦点为F₁（0，3），可得椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，利用M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF₁的面积为 $\text{[math]}$ ，求出M的坐标代入椭圆C的方程，即可确定椭圆C的方程；
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程代入椭圆方程，消去y，可得一元二次方程，利用韦达定理，结合以线段AB为直径的圆恰好经过原点， $\text{[math]}$ ，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键．