Question

湛江为建设国家卫生城市，现计划在相距20 km的赤坎区（记为A）霞山区（记为B）两城区外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对市区的影响度与所选地 
点到市区的距离有关，对赤坎区和霞山区的总影响度为两市区的影响度之和，记C点到赤坎区的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对两市区的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对赤坎区的影响度与所选地点到赤坎区的距离的平方成反比，比例系数为4；对霞山区的影响度与所选地点到霞山区的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在的中点时，对两市区的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数；
(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到赤坎区的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）根据条件中描述：垃圾处理厂对赤坎区的影响度与所选地点到赤坎区的距离的平方成反比，比例系数为4；对霞山区的影响度与所选地点到霞山区的距离的平方成反比，比例系数为k，而y表示建在C处的垃圾处理厂对两市区的总影响度为y，因此可设，根据题意当垃圾处理厂建在的中点时，对两市区的总影响度为0.065可求得k的值；（2）由(1)，，可求得，进而可以得到y的在(0,20)上的单调性，从而求得y的最小值.
(1)如图，由题意知AC⊥BC，AC＝x km，则，
      2分

由题意知，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，即当时，y＝0.065，代入得k＝9.所以y表示成x的函数为．        6分；
（2）由于，∴        8分
令得或(舍去)，    9分
当时，，即，此时函数为单调减函数；当时，，即，此时函数为单调增函数         12分
所以当时，即当C点到赤坎区的距离为时，函数有最小值    14分.