Question

（2012•嘉定区三模）已知函数f(x)=

1

x+1

，点A_n为函数f（x）图象上横坐标为n（n∈N^* ）的点，O为坐标原点，向量

e

=(1 ， 0)．记θ_n为向量

OAn

与

e

的夹角，则

lim

n→∞

(tanθ1+tanθ2+…+tanθn)=

1

．

Answer 1

分析：因为

e

=(1 ， 0)，θ_n为向量

OAn

与

e

的夹角，所以θ_n为直线OA_n的倾斜角，从而tanQ_n为直线OA_n的斜率，利用裂项法求和，再求极限，即可得到结论．

解答：解：因为

e

=(1 ， 0)，θ_n为向量

OAn

与

e

的夹角
∴θ_n为直线OA_n的倾斜角，
∵tanQ_n为直线OA_n的斜率，A_n（n，

1

n+1

）
∴tanQ_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

lim

n→∞

(tanθ1+tanθ2+…+tanθn)=

lim

n→∞

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1
故答案为：1

点评：本题考查向量知识的运用，考查裂项法求数列的和，考查极限的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．