Question

20．已知m、n、s、t∈R^*，m+n=4，$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$=9其中m、n是常数，且s+t的最小值是$\frac{8}{9}$，满足条件的点（m，n）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1一弦的中点，则此弦所在直线方程为（　　）

• A． x+4y-10=0
• B． 2x-y-2=0
• C． 4x+y-10=0
• D． 4x-y-6=0

Answer 1

分析 由题设中所给的条件，求出点（m，n）的坐标，由于此点是其所在弦的中点，故可以用点差法求出此弦所在直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程，整理成一般式即可．

解答 解：由已知得s+t=$\frac{1}{9}$（s+t）（$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$）=$\frac{1}{9}$（m+n+$\frac{mt}{s}$+$\frac{ns}{t}$）≥$\frac{1}{9}$（m+n+2$\sqrt{mn}$）
=$\frac{1}{9}$（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²，
由于s+t的最小值是$\frac{8}{9}$，
因此$\frac{1}{9}$（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²=$\frac{8}{9}$，即$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$=2$\sqrt{2}$，又m+n=4，
所以m=n=2．
设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=y₁+y₂=4．
又该两点在双曲线上，代入双曲线方程，两式相减得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=4，
即所求直线的斜率是4，所求直线的方程是y-2=4（x-2），即4x-y-6=0．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，求解本题的关键有二，一是利用基本不等式与最值的关系求出参数的值，一是利用点差法与中点的性质求出弦所在直线的斜率，点差法是知道中点的情况下常用的表示直线斜率的方法，其特征是有中点出现，做题时要善于运用．