题目内容
)如图,椭圆:
,
、
、
、
为椭圆
的顶点
(Ⅰ)若椭圆上的点
到焦点距离的最大值为
,最小值为
,求椭圆方程;
(Ⅱ)已知:直线相交于
,
两点(
不是椭圆的左右顶点),并满足
试研究:直线
是否过定点? 若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由
(Ⅰ) (Ⅱ)直线
过定点,定点坐标为
解析试题分析:(Ⅰ)由已知得:,
解这个方程组求出a、c即得椭圆的标准方程
(Ⅱ)将直线方程与椭圆的方程联立,
将直线方程代入椭圆方程得:
用韦达定理找到点,
的坐标与k、m的关系
再由可得A、B的坐标间的一个关系式,由此消去
得m、k之间的关系式,用此关系式将直线
的方程中的参数m或k换掉一个,由此即可看出直线是否恒过一个定点
试题解析:(Ⅰ)由已知与(Ⅰ)得:,
,
,
,
椭圆的标准方程为
4分
(Ⅱ)设,
,
联立
得,
又,
因为椭圆的右顶点为,
,即
,
,
,
解得:,
,且均满足
,
当时,
的方程为
,直线过定点
,与已知矛盾;
当时,
的方程为
,直线过定点
所以,直线过定点,定点坐标为
考点:1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线的位置关系