题目内容
（2009•青岛一模）设椭圆M：
+
=1(a＞2
)的右焦点为F1，直线l：x=
与x轴交于点A，若
+2
=
（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任一条直径，求
•
的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 8 |
| 2 |
| a2 | ||
|
| OF1 |
| AF1 |
| 0 |
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任一条直径，求
| PE |
| PF |
分析：（Ⅰ）确定A，F1的坐标，利用
+2
=
，建立方程，从而可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）利用向量的数量积运算，将求
•
的最大值转化为求
2的最大值，利用配方法可求．
| OF1 |
| AF1 |
| 0 |
（Ⅱ）利用向量的数量积运算，将求
| PE |
| PF |
| NP |
解答：解：（Ⅰ）由题设知：A(
，0)，F1(
，0)
由
+2
=
得：
=2(
-
)
解得a=2
，
∴椭圆M的方程为M：
+
=1
（Ⅱ）
•
=(
-
)•(
-
)=(-
-
)•(
-
)=(-
)2-
2=
2-1
从而将求
•
的最大值转化为求
2的最大值
P是椭圆M上的任一点，设P（x0，y0），则有
+
=1，即x02=24-8y02
又N（0，2），
∴
2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+30
∵y0∈[-2
，2
]，
∴当y0=-1时，
2取最大值30
∴
•
的最大值为29…（14分）
| a2 | ||
|
| a2-8 |
由
| OF1 |
| AF1 |
| 0 |
| a2-8 |
| a2 | ||
|
| a2-8 |
解得a=2
| 6 |
∴椭圆M的方程为M：
| x2 |
| 24 |
| y2 |
| 8 |
（Ⅱ）
| PE |
| PF |
| NE |
| NP |
| NF |
| NP |
| NF |
| NP |
| NF |
| NP |
| NP |
| NF |
| NP |
从而将求
| PE |
| PF |
| NP |
P是椭圆M上的任一点，设P（x0，y0），则有
| x02 |
| 24 |
| y02 |
| 8 |
又N（0，2），
∴
| NP |
∵y0∈[-2
| 2 |
| 2 |
∴当y0=-1时，
| NP |
∴
| PE |
| PF |
点评：本题考查椭圆的方程，考查向量的数量积，考查配方法求函数的最值，属于中档题．
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