题目内容
【题目】在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+
.
(1)设bn= ,求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn .
【答案】
(1)解:由已知得b1=a1=1,且 =
+
,
即bn+1=bn+ ,从而b2=b1+
,
b3=b2+ ,
bn=bn﹣1+ (n≥2).
于是bn=b1+ +
+…+
=2﹣
(n≥2).
又b1=1,
故所求的通项公式为bn=2﹣
(2)解:由(1)知an=2n﹣ ,
故Sn=(2+4+…+2n)﹣(1+ +
+
+…+
),
设Tn=1+ +
+
+…+
,①
Tn=
+
+
+…+
+
,②
①﹣②得,
Tn=1+
+
+
+…+
﹣
= ﹣
=2﹣
﹣
,
∴Tn=4﹣ .
∴Sn=n(n+1)+ ﹣4
【解析】(1)由已知得 =
+
,即bn+1=bn+
,由此能够推导出所求的通项公式.(2)由题设知an=2n﹣
,故Sn=(2+4+…+2n)﹣(1+
+
+
+…+
),设Tn=1+
+ +
+…+
,由错位相减法能求出Tn=4﹣
.从而导出数列{an}的前n项和Sn .
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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