题目内容
【题目】已知
.
（1）当
时，判断
在
的单调性，并用定义证明；
（2）若
对
恒成立，求
的取值范围；
（3）讨论的零点的个数.
【答案】（1）减函数,证明详见解析; （2）
;（3）详见解析
【解析】
试题（1）当
时，利用函数单调性的定义即可判断
在
的单调性，并用定义证明．
（2）利用参数分离法将不等式
恒成立，转化为
，求出
的最大值即可；
（3）将函数零点个数转化为方程
解的个数，再转化为直线
与
的图象的交点个数，运用数形结合思想求解.
试题解析：（1）当，且
时，
为减函数.
证明：设
，则
,又，所以
，
，所以
,所以
，所以
，故当，且时，为减函数.
（2）由得
，变形为
,即,而
，当
，即
时，
,所以
.
（3）由
可得
，变形为，令
,作出
的图象及直线，由图象可得：当或
时，有
个零点.当
或
或
时，有
个零点；当
或
时，有
个零点.
点晴：本题考查函数与单调性.确定零点的个数问题，可利用数形结合的办法判断交点个数，方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．注意利用数形结合的数学思想方法.
【题目】菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水
（单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药
（单位：微克）的统计表：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 58 | 54 | 39 | 29 | 10 |
（1）在答题纸的坐标系中，描出散点图，并判断变量
与
是正相关还是负相关；
（2）若用解析式
作为蔬菜农药残量
与用水量
的回归方程，令
，计算平均值
与
，完成以下表格（填在答题卡中），求出
与
的回归方程.（
， 
保留两位有效数字）：
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
| 58 | 54 | 39 | 29 | 10 |
| |||||
|
（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据
）（附：对于一组数据
， 
，……， 
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： 
， 
）
